Smo cu refuzuri și asistență reciprocă parțială. QS cu refuzuri și asistență reciprocă deplină pentru fluxurile de masă
UDC 519.248:656.71
MODEL DE SISTEM DE COZI CU DEBITURI NESTAȚIONARE ȘI ASISTENȚĂ RECIPROCĂ PARȚIALĂ ÎNTRE CANALE
© 2011 V. A. Romanenko
Universitatea Aerospațială de Stat din Samara, numită după Academicianul S.P. Korolev (universitate națională de cercetare)
Este descris un model dinamic al unui sistem de așteptare multicanal cu fluxuri nestaționare, care așteaptă într-o coadă de lungime limitată și asistență reciprocă parțială a canalelor, exprimată în posibilitatea deservirii simultane a unei cereri de către două canale. Sunt date expresii pentru principalele caracteristici probabilistice-timp ale sistemului. Sunt descrise rezultatele modelării funcționării unui aeroport hub ca exemplu de sistem luat în considerare.
Sistem de așteptare, flux non-staționar, asistență reciprocă între canale, aeroport hub.
Introducere
Considerăm un sistem de așteptare multicanal (QS) cu așteptare într-o coadă de lungime limitată. O caracteristică a QS luată în considerare este asistența reciprocă parțială între canale, exprimată în posibilitatea utilizării simultane a două canale pentru a deservi o singură cerere. Combinarea eforturilor canalelor duce, în general, la o reducere a timpului mediu de serviciu. Se presupune că QS primește un flux de aplicații Poisson nestaționar. Durata deservirii unei aplicații depinde de timp.
Un exemplu tipic de QS care are caracteristicile enumerate este sistemul de servicii de transport aeroportuar. Utilizarea simultană a mai multor (de obicei, două) facilități (ghișee de check-in, cisterne cu combustibil pentru aviație, vehicule speciale etc.) pentru a deservi un zbor este prevăzută de programele tehnologice de deservire aeroportuară a aeronavelor mari (AC). În același timp, necesitatea îmbunătățirii calității și reducerii duratei serviciilor de transport terestru, care este deosebit de relevant pentru aeroporturile mari, duce la faptul că ponderea operațiunilor efectuate nu de unul, ci de mai multe (două) mijloace este crescând.
Aceasta crește pe măsură ce scara aeroportului crește. Modelul descris în articol a fost dezvoltat pentru a rezolva problemele de analiză și optimizare a funcționării complexelor de producție ale aeroporturilor hub (hub-uri), caracterizate prin saturarea instalațiilor de transport terestre cu un flux nestaționar pronunțat de pasageri, aeronave și mărfuri și fluctuaţii în intensitatea serviciului lor.
Descrierea generală a modelului
Modelul este destinat să determine dependențele de timp ale caracteristicilor probabilistice ale unui sistem QS care conține N canale de servire. Numărul de aplicații în QS nu trebuie să depășească K, ceea ce se poate datora limitărilor tehnice ale numărului de locuri de parcare pentru aeronave disponibile în aeroport, capacității terminalului sau complexului de marfă etc. Numărul de canale alocat pentru deservirea unei cereri poate fi fie 1, fie 2. Dacă există cel puțin două canale libere, cererea primită cu o probabilitate dată este împrumutată pentru deservire
unul dintre ele și - cu probabilitate y2 = 1 - y1 - ambele canale. Dacă, în momentul primirii unei cereri de service, QS are un singur canal gratuit, atunci această aplicație ocupă în orice caz spațiul disponibil
singurul canal. Dacă nu există canale neocupate, o solicitare nou sosită „se pune în coadă” și așteaptă serviciul. Dacă numărul de aplicații din coadă este K-N, atunci aplicația nou sosită lasă QS-ul neservit. Probabilitatea unui astfel de eveniment ar trebui să fie scăzută.
Intrarea QS primește un flux de aplicații Poisson (nu neapărat staționar).
cu intensitatea l(t). Se presupune că durata deservirii unei cereri atât de către un canal Tobsl1 (t) cât și de două -
Tobsl 2 (t) sunt funcții aleatorii ale timpului distribuite exponențial (procese aleatoare).
Intensitatea serviciului de aplicare
un canal ^ (t) şi simultan două canale m 2 (t) sunt definite ca
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
unde Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]
Timp mediu pentru deservirea unei cereri de către un canal și, respectiv, două canale.
Relația dintre mărimile m1 (t) și m 2 (t) este dată de relația
m2 (t) = ^m1 (t),
unde 9 este un coeficient care ține cont de creșterea relativă a intensității serviciului la utilizarea a două canale.
În practică, relația dintre numărul de fonduri strânse și intensitatea serviciului este destul de complexă, determinată de caracteristicile operațiunii de serviciu în cauză. Pentru operațiuni, a căror durată este legată de volumul de muncă efectuat (de exemplu, realimentarea unei aeronave cu combustibil pentru avioane folosind cisterne cu combustibil pentru avioane, îmbarcarea sau debarcarea pasagerilor dintr-o aeronavă etc.), dependența intensității serviciului de numărul de canale se apropie direct proporțional, dar nu este strict așa din cauza timpului necesar pregătirii
ci operațiuni finale care nu sunt afectate de numărul de fonduri. Pentru astfel de operațiuni, £ 2. Pentru un număr de operațiuni, dependența duratei de execuție de numărul de mijloace sau executanți este mai puțin pronunțată (de exemplu, check-in sau pre-flight
screening-ul pasagerilor). În acest caz în »1.
La un moment arbitrar de timp I, QS considerat poate fi într-una dintre L+1 stări discrete - B0, ...,
LA DRACU. Trecerea de la stat la stat poate avea loc în orice moment. Probabilitatea ca la momentul I QS-ul să fie în stare
condiția de normalizare 2 р () =1 Cunoaștere-
Analiza probabilităților P0 (/), PX (t),..., Pb (t) permite determinarea unor caracteristici virtuale (instantanee) atât de importante ale QS precum lungimea medie a cozii, numărul mediu de canale ocupate, numărul mediu de solicitări localizate în QS, etc.
Probabilitățile stărilor p(t) se găsesc prin rezolvarea unui sistem de ecuații diferențiale Kolmogorov, scrise în general ca
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Unde<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
unde P(/; At) este probabilitatea ca QS, care a fost în starea B în momentul t, pentru
timpul La voia trece de la ea la stat
Pentru a compila ecuațiile Kolmogorov, se folosește un grafic de stare etichetat al QS. În ea, intensitățile corespunzătoare ale f. sunt plasate deasupra săgeților care conduc de la B. la B. Derivata probabilității fiecărei stări este definită ca suma tuturor fluxurilor de probabilitate care vin din alte stări într-o stare dată, minus suma tuturor fluxurilor de probabilitate care trec dintr-o stare dată în altele.
Pentru a crea un grafic, este introdus un sistem de notație cu trei indici, în care starea QS-ului luată în considerare la un moment arbitrar în timp este caracterizată de trei parametri: numărul de canale ocupate n (n = 0,1,.. .,^), numărul de cereri deservite k (k = 0,1,...,^) și așteptarea serviciului t (t = 0,1,...,^ - N).
În fig. Figura 1 prezintă un grafic de stare etichetat, compilat folosind regulile descrise mai sus și notațiile introduse, pentru un QS ales ca exemplu simplu.
Pentru a economisi spațiu, în graficul și în sistemul corespunzător de ecuații ale lui Kolmogorov prezentate mai jos sunt omise denumirile dependenței funcționale de timp a intensităților 1, m1, m2 și probabilitățile stărilor.
^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,
= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +
Т1Р320 + 2 ^2Р420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +
3 t1Р330 + ^2Р430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +
LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +
+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,
LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +
+^2YaP320 + t1P531,
LR440 IL (4t1 + I) R40 + R330 +
5^1р50 + t2р41,
LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +
+"^2YaR330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l =-(t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +
LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,
LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,
lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541 ,
Lp5^^ = 5 t1P552 + i p51.
Dacă în momentul de față t = 0 nu există cereri în QS, atunci condițiile inițiale se vor scrie sub forma
P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.
Rezolvarea sistemelor de dimensiuni mari precum (1), (2), cu valori variabile 1(^, mDO, m2(0) este posibilă numai prin metode numerice folosind un calculator.
Orez. 1. Graficul de stare al QS
Construirea unui model QS
În conformitate cu abordarea algoritmică, vom lua în considerare o tehnică de transformare a unui sistem de ecuații Kolmogorov de dimensiune arbitrară într-o formă potrivită pentru calcule computerizate. Pentru a simplifica înregistrarea, folosim în locul unui sistem triplu un sistem dublu de notare a stărilor QS, în care r este numărul de canale ocupate cu service plus lungimea cozii,] este numărul de aplicații din QS. . Relația dintre sistemele de notație este exprimată prin dependențe:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Nu poate fi realizată nicio stare din setul formal
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). În special,
în cadrul modelului descris, sunt imposibile stările în care două sau mai multe solicitări sunt deservite simultan de una singură
canal, adică R. (t) = 0 dacă ] > r. Să notăm cu simbolul 8 mulţimea stărilor admisibile ale QS. Statul B. există, și
probabilitatea ei corespunzătoare P. ^)
poate fi diferit de zero dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H-1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,
unde Х este numărul maxim de state cu un număr diferit de canale de difuzare pentru un anumit număr de cereri, determinat de formula
Aici parantezele denotă operația de eliminare a părții fracționale. De exemplu,
judecând după graficul de stare prezentat în Fig. 1, două cereri pot fi deservite de două, trei sau patru canale. Prin urmare, în exemplul discutat mai sus
H = 5 - = 5 - 2 = 3.
Pentru a implementa calcule computerizate folosind un sistem de ecuații Kolmogorov de dimensiune arbitrară, ecuațiile sale trebuie reduse la o formă universală care să permită scrierea oricărei ecuații. Pentru a dezvolta o astfel de formă, luați în considerare un fragment din graficul de stări care afișează o stare arbitrară B] cu cele mai importante din aceasta.
săgeți de intensitate. Să notăm cu cifre romane stările învecinate direct legate de B., așa cum se arată în Fig. 2.
Pentru fiecare stare a lui B. (g = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K), astfel încât B. e 8, la momentul t valorile
p^), p(t), p.^), p(t) accept
diverse valori (inclusiv cele egale cu zero). Cu toate acestea, structura ecuației
(3) rămâne neschimbat, ceea ce îi permite să fie utilizat pentru implementarea computerizată a unui sistem de ecuații Kolmogorov de dimensiune arbitrară.
Intensitățile fr (t), (р. (t), care tind să transfere QS în stări cu valori mari ale lui r și ], dacă prezența unor astfel de stări este posibilă, sunt determinate pe baza unui număr de condiții, după cum urmează :
o.. ї a sau
°(,-+1)0"+1) ї 8 ’
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 sau
°(.+2)а+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8’
Orez. 2. Fragment din graficul stării QS
Ținând cont de prezența statelor vecine față de B., ecuația pentru B. se va scrie după cum urmează:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +
Р(Н(1-1)^)Р(-1)(1 -1)^) +
Р 2)()+1)()Р(г+2)()-+1)() +
РЦ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().
О(.+1)(.+1)ї 8 sau і > N - 2
Y2X(i), dacă
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 ’ i £ N - 2,
О(і+1)(.+1)ї 8’
О(і+2)(.+1) - 8’
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Intensitatea râului (), p..11 (), transferarea QS din starea B-. în state
cu valori mai mici de g și. (dacă este posibilă prezența unor astfel de stări), sunt direct proporționale cu numărul de canale implicate, deservând cereri de diferite tipuri situate în QS (ocupând unul sau două canale pentru service). Un grup de două canale angajate în deservirea unei cereri de tipul corespunzător poate fi considerat un singur canal. Prin urmare, în cazul general
p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,
unde k.1 este numărul de cereri care ocupă un canal, deservite de QS în starea B; k este numărul de cereri care ocupă fiecare câte două canale, deservite de QS în starea B.
Prin g şi. aceste valori se determină după cum urmează:
G2. - g dacă g< N,
y1 [ N - 2 (r - .), dacă r > N, (4)
La! 2 = g - . .
Ţinând cont de restricţiile privind posibilitatea existenţei stărilor de expresie pt
p(), R.() au forma
^B(g-1)(L) e 8,
Indicatori ai eficacității funcționării QS
Modelul descris ne permite să determinăm dependențele de timp ale următorilor indicatori ai eficienței operaționale a QS-ului considerat.
Lungimea medie a cozii:
poate ()=22(g-p) R ().
Numărul mediu de canale ocupate:
Numărul mediu de cereri către CMO:
m, ()=22,R. ().
Probabilitatea refuzului serviciului:
Є, ()= 2 Р- ().
Se poate obține distribuirea timpului virtual de așteptare de către aplicație
serviciu Ж (x,t) = Р ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
anterior. Există o probabilitate Рк=0 (t) de deservire imediată a unei cereri primite în prezența unui canal liber (sau a mai multor canale libere)
B(g-1)(.-1) 8 GBP,
r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.
R. () ° 0, dacă B. £ 8.
Luând în considerare posibilitatea eșecului, valoarea dorită a funcției de distribuție Ж (х^) va fi determinată ca
F (x-‘)=(--o(t)
EEZH M (,)) ()
Ru()° 0 dacă °y. ї 8.
Aici Ж (х,т| (і,./)) este o funcție condiționată
repartizarea timpului de așteptare pentru o anumită cerere, cu condiția ca la momentul sosirii ei T să găsească QS-ul în starea y.
În QS-ul luat în considerare, timpul de așteptare pentru deservirea unei cereri primite depinde nu numai de numărul de solicitări deja în QS, ci și de distribuția canalelor între deservirea de grup și individuală a cererilor existente. Dacă nu ar exista asistență reciprocă între canale, atunci QS-ul luat în considerare ar fi un QS tradițional cu așteptare într-o coadă de lungime limitată, pentru care timpul total de așteptare pentru începerea serviciului printr-o revendicare care a depășit m alte cereri din coadă. la momentul sosirii ar avea o distribuție Erlang E,^) (X) .
Aici superscriptul conține intensitatea cererilor de service de către toate N canalele care funcționează în prezența unei cozi; indicele este ordinea distribuţiei conform legii lui Erlang. În QS-ul considerat aici, legea descrisă este valabilă numai pentru cererile care au intrat în QS în statele în care toate canalele sunt ocupate și toate deservesc o singură cerere. Pentru aceste stări putem scrie
F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).
Să notăm cu E^”^1 (x) funcția de distribuție a legii Erlan generalizate
ha, având ordinul 2"r - 1, unde ag este numărul
Lo variabile aleatoare distribuite peste
legea exponenţială cu parametrul y. CU
Folosind notația introdusă, scriem expresii pentru funcția de distribuție a timpului de așteptare în alte stări. În comparație cu (5), aceste expresii au o formă mai complexă, care nu interferează cu implementarea lor software. În plus, ca exemplu, acestea sunt date numai pentru primele trei stări de ocupare completă a canalelor folosind indexarea cu trei caractere introdusă anterior:
F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =
= (x), 0 £ g £ d,
unde si. = kLt (t)+ku 2M2 (t);
Ж (х,т| (п,к,т)) = Ж (х,т| (N,N - g,l)) =
N ^ ^ - g) Km(T)
Ж (х,т| - g, 2))
N ^).(N - g) Km(t)
E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)
(N),(N - g) ktM(T)
EI-)(t-g)(x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Timpul mediu de așteptare virtual pentru o aplicație Toz () este determinat numeric ca
Identitatea (T) = | ^Х (x,T) .
Distribuția timpului de service virtual pentru o solicitare selectată arbitrar Tobsl ^) poate fi, de asemenea, determinată.
Deoarece modificarea Tobsl (t) în QS considerat este un proces aleator, care este un amestec de două procese aleatoare distribuite exponențial TobsL1 ^) și TobsL2 ^), atunci distribuția
V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR(t)
R.. ^) ° 0, dacă 8. £ 8.
Aici V (x^| (r,.)) este funcția de distribuție condiționată a timpului de serviciu al unei anumite cereri, cu condiția ca la momentul sosirii acesteia să găsească QS-ul în stare.
Dacă, la momentul începerii deservirii unei aplicații, QS-ul se află într-o stare în care este posibilă atât întreținerea de grup, cât și cea individuală, atunci timpul de service este un amestec de două pro-
trecerea la serviciul de grup - dacă condiția este posibilă (Fig. 2). Astfel avem:
U(M(i--/")) =
y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,
„2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.
Deoarece, în absența a două canale libere, orice cerere este deservită de un canal, atunci probabilitatea reală ^) de alocare a unui canal este
det este mai mare decât un dat V Funcția uv ^) este definită ca
EEU O","r(t)
R. (t) ° 0, dacă R. ї 8.
Aici y1(r,.) este probabilitatea de a aloca un dispozitiv pentru a deservi o solicitare primită de QS în starea:
O(i+1)(.+1) - 8, O(i
2)(}+1) -2)(!+1)
durate: Tobsl1 (t) si Tobsl2 (t), dis- i = 0,1...,K -1, . = 0,1...,K -1.
limitată exponențial cu parametrii ^1 (t) și respectiv ^2 (t). Dacă în
În acest moment, nu este posibilă alocarea a două canale, atunci timpul de deservire a cererii este distribuit exponențial cu parametrul
t(t). Când o solicitare se apropie de canalele de servire în starea B., trecerea la deservirea individuală este permisă când
prezența posibilității stării I(
Durata medie de deservire a unei cereri incluse în QS la momentul respectiv
T, poate fi definit prin uv (T) ca
Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).
Distribuția timpului virtual petrecut de o aplicație în QS
și (x,t)= P (Tpreb (t)< х)
se determină folosind expresiile obținute anterior pentru funcțiile de distribuție a timpului de așteptare și a timpului de serviciu - =
vaniya ca mine,
2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +
EEi M))рї(t)
și (x,t| (^ .)) =
1 - e-M1(t)x
y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e
(1 - e ^t(t)x),
О(і+1)(.+1) - 8, О(і+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.
Pentru alte stări, formulele pentru funcția de distribuție condiționată sunt scrise prin analogie cu formulele pentru
Ж (х^| (п,к,т)) folosind indexarea cu trei caractere. Mai jos sunt date pentru primele trei stări de ocupare completă a canalului:
La momentul intrării, nu există coadă, dar toate canalele sunt ocupate:
și (x^| (n,k,t)) = și (x^| (NN - g,0)) =
(x), 0 £ g £ d;
Până la intrarea unei aplicații, există o aplicație în coadă:
R. (t) ° 0, dacă R. ї 8.
Aici și (x^| (r,.)) este funcția de distribuție condiționată a timpului petrecut în QS a unei cereri, cu condiția ca în momentul sosirii ei să găsească sistemul în stare..
Pentru statele cu canale gratuite, timpul de rezidență în QS coincide cu timpul de serviciu:
Până la intrarea unei aplicații, există două aplicații în coadă:
și (x,t | (t,t - ^2))
(t)(t^)H (t)(t^+1)
(t)(t - g) ktsM (t)
(t)(t - g) KtsM (t)
Durata medie virtuală de ședere a unei aplicații în QS este definită ca
Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).
Un exemplu de utilizare a modelului QS
Funcționarea de zi cu zi a complexului de producție al unuia dintre aeroporturile hub regional din Europa de Est este simulată atunci când se efectuează o operațiune tehnologică separată pentru deservirea aeronavelor care sosesc. Ca date inițiale pentru modelare, dependențele de timp ale intensității medii a fluxului de aeronave care sosesc
pentru serviciu, i(t) și intensitate
deservirea aeronavelor cu un mijloc t1 (t) .
După cum rezultă din datele construite
graficul de dependență al site-ului web al aeroportului i(t)
(Fig. 3a), aprovizionarea cu BC este caracterizată de denivelări semnificative: în timpul zilei se observă patru maxime de intensitate, corespunzătoare a patru „valuri”
noi" sosiri și plecări zboruri. Valorile de vârf de 1(t) pentru „valurile” principale ajung la 25-30 VS/h.
În fig. 3 și afișează, de asemenea, un grafic al dependenței t (t). Se presupune că nu
doar intensitatea fluxului de aeronave, dar și intensitatea serviciului acestora este o funcție de timp și depinde de faza „valului”. Cert este că, pentru a reduce timpul mediu de transfer pentru pasageri, orarul aeroportului hub este astfel structurat încât „valul” să fie inițiat de sosiri de aeronave mari de pasageri, a căror întreținere necesită mult de timp și este completată de sosiri de aeronave mici. În exemplu, se presupune că durata medie a unei operații cu un singur instrument, care este de 20 de minute pentru cea mai mare parte a duratei zilei, în stadiul inițial al „valului” crește la 25 de minute. și se reduce în etapa finală la 15 minute. Astfel, patru intervale cu
nivelul redus t (t) din Fig. 3a corespund fazelor inițiale ale „valurilor”, când predomină sosirile de aeronave mari. La rândul lor, patru intervale de creștere
nivelul t^) cad pe finala
faze de „val” cu predominanță a aeronavelor mici.
Mai jos descriem rezultatele simulării care ne permit să evaluăm eficiența sistemului. În fig. 3b-3d arată dependențele de timp ale valorilor medii ale numărului de canale ocupate Nз ^),
numărul total de cereri în sistemul Ministerului Sănătăţii ^) şi
lungimi de coadă Moz (7) obținute pentru două valori de probabilitate limită n1 = 0 și n1 = 1 cu următoarele caracteristici de proiectare: N = 10; K = 40; in = 1,75. Judecând după graficul dependenței Nз (t)
(Fig. 3b), în cea mai mare parte a intervalului zilnic de timp ocuparea canalelor de deservire ale sistemului rămâne scăzută, ceea ce este o consecință a intrării nestaționare
fluxul de avioane. Sarcina mare (60-80%) se realizează numai în timpul celui de-al doilea „val” de sosiri și plecări, iar opțiunea n1 = 0 la valori mari de 1(t) determină o sarcină mai mare asupra sistemului și la valori mici. din 1(t) - mai puțin
faţă de opţiunea n1 = 1. Mai mult, ca
modelarea a arătat că probabilitatea de defecțiune în sistemul luat în considerare pentru ambele opțiuni este neglijabilă.
Compararea graficelor de dependență
M3 ^) și Mozh ^) (Fig. 3c și, respectiv, 3d) ne permit să concluzionam că în QS cu n1 = 0 există, în medie, mai puține cereri și se așteaptă să fie servite mai multe cereri decât cu n1 = 1. Această contradicție se explică prin faptul că, fiecare cerere primită de QS, care în cazul n1 = 0 necesită două
canal, lasă mai puține canale libere pentru solicitările care îl urmează, forțându-i să creeze o coadă mai mare decât în cazul
n1 = 1. În același timp, utilizarea în grup a canalelor, reducând timpul de serviciu, determină o scădere a numărului total de aplicații deservite și în așteptare de serviciu. Deci, în exemplul luat în considerare, timpul mediu de serviciu în timpul zilei este
pentru opțiunea p1 = 1 este de 20 de minute, iar pentru
opțiunea p1 = 0 - 11,7 min.
Modelul discutat mai sus face posibilă rezolvarea problemelor legate de căutarea managementului optim al calității serviciilor de transport. În fig. 3d, 3f arată unele rezultate ale rezolvării acestui tip de probleme, al căror sens este explicat în continuare folosind exemplul aeroportului luat în considerare.
Lungimea medie a cozii, care este mică chiar și în timpul sarcinilor de vârf, care nu depășește 0,6 aeronave în exemplul luat în considerare (Fig. 3d), nu garantează că pentru marea majoritate a aeronavelor timpul de așteptare în coadă va fi acceptabil. Timp mediu de așteptare scăzut cu un timp mediu satisfăcător pentru finalizarea unei operațiuni de service
De asemenea, acest lucru nu exclude posibilitatea unui timp de nefuncționare inacceptabil de lung în timpul întreținerii aeronavei individuale. Să luăm în considerare un exemplu când calitatea serviciului aeroportuar este supusă unor cerințe atât pentru a asigura valori satisfăcătoare pentru timpul de așteptare pentru serviciu, cât și pentru timpul petrecut în sistem. Vom presupune că mai mult de 90% din aeronave ar trebui să fie inactiv pentru întreținere pentru mai puțin de 40 de minute, iar timpul de așteptare pentru întreținere pentru aceeași proporție de aeronave ar trebui să fie mai mic de 5 minute. Folosind notația introdusă mai sus, aceste cerințe pentru calitatea serviciului aeroportuar vor fi scrise sub formă de inegalități:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (identitate (t)< 5мин)> 09
În fig. 3d, 3f arată dependențele de timp ale probabilităților P (Tpreb (/)< 40мин)
și P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. de la începutul zilei model corespunzătoare celui de-al doilea „val” de sosiri.
După cum se poate vedea din figuri, opțiunea n1 = 1 nu este
asigură fiabilitatea calculată în termeni de timp de service: cerință pentru timpul de service specificat de condiție
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, se desfășoară doar pe o perioadă scurtă de 530560 minute, corespunzătoare sosirilor de mici
Soare. La rândul său, opțiunea n1 = 0 nu oferă fiabilitatea calculată în ceea ce privește timpul de așteptare în coadă: în intervalul de sosiri a aeronavelor mari (500-510 min.)
Orez. 3. Rezultate simulare 262
condiția P este îndeplinită (Iz(t)< 5мин) > 0.9.
După cum a arătat modelarea, calea de ieșire din această situație poate fi alegerea
opțiunea de compromis y1 » 0.2. În practică, această opțiune înseamnă că serviciile aeroportuare ar trebui alocate câte două fonduri pentru deservirea nu tuturor aeronavelor, ci doar celor selectate pe baza unui anumit criteriu, de exemplu,
capacitatea de pasageri. Aici y1 joacă un rol
un parametru care vă permite să controlați indicatorii de performanță ai QS: timpul de așteptare pentru o aplicație în coadă și timpul în care aplicația rămâne în QS sau timpul de service.
Deci, sistemul considerat, care utilizează unul sau două canale simultan pentru a deservi o solicitare, este un caz special, dar practic semnificativ al unui QS cu
asistenta reciproca a canalelor. Utilizarea unui model dinamic al unui astfel de QS permite să se pună și să se rezolve diverse optimizari, inclusiv multicriteriale, probleme legate nu doar de gestionarea numărului total de fonduri, ci și de asistența reciprocă a acestora. Problemele de acest fel sunt relevante în special pentru aeroporturile hub, care sunt saturate de facilități de servicii, cu fluxurile lor de zbor nestaționare și cu intensitatea fluctuantă a serviciilor. Astfel, modelul QS-ului considerat este un instrument de analiză și optimizare a parametrilor unei clase atât de promițătoare de aeroporturi ca hub-uri.
Bibliografie
1. Bocharov, P.P. Teoria coadă [Text] / P.P. Bocharov, A.V. Pe-chinkin. - M.: Editura RUDN, 1995. - 529 p.
MODEL DE SISTEM DE COZI DE COZI CU FLUXURI NESTAȚIONARE ȘI ASISTENȚĂ RECIPROCĂ PARȚIALĂ ÎNTRE CANALE
© 2011 V. A. Romanenko
Universitatea Aerospațială de Stat din Samara poartă numele academicianului S. P. Korolyov (Universitatea Națională de Cercetare)
Este descris un model dinamic de sistem de așteptare multicanal cu fluxuri nestaționare, așteptare într-o coadă de lungime limitată și asistență reciprocă parțială a canalelor exprimată în oportunitatea deservirii simultane a unui client pe două canale. Sunt date expresii pentru caracteristicile de bază probabilitate-timp ale sistemului. Sunt discutate rezultatele modelării funcționării unui aeroport hub ca exemplu de sistem.
Sistem de așteptare, flux non-staționar, asistență reciprocă între canale, aeroport hub.
Informații despre autor Vladimir Alekseevich Romanenko, candidat în științe tehnice, conferențiar universitar, doctorand al Departamentului de Organizare și Management al Transporturilor, Universitatea Aerospațială de Stat din Samara, numit după Academicianul S.P. Korolev (universitatea națională de cercetare). E-mail: [email protected]. Domeniul de interes științific: optimizarea și modelarea sistemului de servicii de transport al unui aeroport hub.
Romanenko Vladimir Alexeevici, candidat la științe tehnice, conferențiar universitar, doctorat la departamentul de organizare și management al transporturilor, Universitatea Aerospațială de Stat Samara, numit după academicianul S. P Korolyov (Universitatea Națională de Cercetare) E-mail: [email protected]. Domeniul de cercetare: optimizarea și simularea unui sistem de servicii de transport aeroportuar hub.
Sistem de ecuații
QS cu defecțiuni pentru un număr aleator de fluxuri de service; model vectorial pentru fluxurile Poisson. Grafic, sistem de ecuații.
Să reprezentăm QS ca un vector, unde k m– numărul de aplicații din sistem, fiecare dintre acestea fiind deservită m dispozitive; L= q max – q min +1 – numărul de fluxuri de intrare.
Dacă o cerere este acceptată pentru service și sistemul intră într-o stare cu intensitatea λ m.
Când deservirea uneia dintre solicitări este finalizată, sistemul se va muta într-o stare în care coordonatele corespunzătoare au o valoare cu o valoare mai mică decât în starea , = , i.e. va avea loc tranziția inversă.
Un exemplu de model vectorial QS pentru n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensitatea întreținerii dispozitivului – μ.
Folosind graficul de stare cu intensitățile de tranziție reprezentate, este compilat un sistem de ecuații algebrice liniare. Din rezolvarea acestor ecuații se găsesc probabilitățile R(), prin care se determină caracteristicile QS.
Un QS cu o coadă infinită pentru fluxurile Poisson. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.
Graficul sistemului
Sistem de ecuații
Unde n– numărul de canale de servicii, l– numărul de canale de asistență reciprocă
Un QS cu o coadă infinită și asistență reciprocă parțială pentru fluxuri arbitrare. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.
Graficul sistemului
Sistem de ecuații
–λ R 0 + nμ R 1 =0,
.………………
–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),
……………....
-(λ+ nμ) Pn+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,
……………….
-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
QS cu o coadă infinită și asistență reciprocă completă pentru fire arbitrare. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.
Graficul sistemului
|
Sistem de ecuații
Un QS cu o coadă finită pentru fluxurile Poisson. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.
Graficul sistemului
Sistem de ecuații
Rate de calcul:
,
În marea majoritate a cazurilor, în practică, sistemul de așteptare este multicanal, adică mai multe cereri pot fi servite în paralel și, prin urmare, ,
modele cu canale de servicii(unde numărul de canale de servicii n>1) prezintă un interes indubitabil.
Procesul de așteptare descris de acest model este caracterizat de intensitatea fluxului de intrare λ și nu mai mult de n clienți (aplicații). Durata medie de deservire a unei cereri este de 1/μ. Modul de funcționare al unuia sau altui canal de service nu afectează modul de funcționare al altor canale de service ale sistemului, iar durata procedurii de service pentru fiecare canal este o variabilă aleatorie supusă legii de distribuție exponențială. Scopul final al utilizării canalelor de servicii conectate în paralel este de a crește (comparativ cu un sistem cu un singur canal) viteza cererilor de service prin deservire simultană. n clientii.
Soluția staționară a sistemului are forma:
;
Unde, .
Se numesc formule pentru calcularea probabilităților Formule Erlang.
Să determinăm caracteristicile probabilistice ale funcționării unui QS multicanal cu defecțiuni într-un mod staționar:
probabilitatea de eșec:
.
deoarece aplicația este respinsă dacă ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate. Magnitudinea R deschis caracterizează caracterul complet al serviciului fluxului de intrare;
probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru comunicare(aka capacitatea relativă a sistemului) completează R deschis catre unul:
.
debit absolut
numărul mediu de canale ocupate de serviciu() următoarele:
Valoarea caracterizează gradul de încărcare a QS.
Exemplu. Lăsa n-canal QS este un centru de calcul (CC) cu trei ( n=3) PC-uri interschimbabile pentru rezolvarea problemelor primite. Fluxul sarcinilor care sosesc la centrul de calcul are o intensitate de λ=1 sarcină pe oră. Durata medie a serviciului t aproximativ =1,8 ore.
Trebuie să calculați valorile:
- probabilitatea numărului de canale CC ocupate;
- probabilitatea refuzului de a deservi o cerere;
- capacitatea relativă a centrului de calcul;
- capacitatea absolută a centrului de calcul;
- numărul mediu de PC-uri ocupate la centrul de calcul.
Determinați câte computere suplimentare trebuie achiziționate pentru a crește de 2 ori debitul centrului de calculatoare.
Soluţie.
Să definim parametrul fluxului de serviciu μ:
.
Intensitate redusă a fluxului de aplicații
.
Găsim probabilitățile limită ale stărilor folosind formulele Erlang:
Probabilitatea refuzului de a deservi o cerere
.
Capacitatea relativă a centrului de calcul
.
Capacitatea absolută a CC:
.
Numărul mediu de canale ocupate – PC
Astfel, în modul de funcționare constant al QS, în medie, 1,5 computere din trei vor fi ocupate - restul de unul și jumătate va fi inactiv. Munca CC considerată cu greu poate fi considerată satisfăcătoare, întrucât centrul nu deservește cererile în medie în 18% din cazuri (P 3 = 0,180). Este evident că capacitatea centrului de calcul pentru λ și μ dat poate fi crescută doar prin creșterea numărului de computere.
Să stabilim cât de mult trebuie utilizat computerul pentru a reduce de 10 ori numărul de aplicații neservite primite la CC, adică. astfel încât probabilitatea de eșec în rezolvarea problemelor să nu depășească 0,0180. Pentru a face acest lucru, folosim formula probabilității de eșec:
Să creăm următorul tabel:
| n | ||||||
| P 0 | 0,357 | 0,226 | 0,186 | 0,172 | 0,167 | 0,166 |
| P deschis | 0,673 | 0,367 | 0,18 | 0,075 | 0,026 | 0,0078 |
Analizând datele din tabel, trebuie menționat că extinderea numărului de canale de calculator la valori date de λ și μ până la 6 unități PC va asigura satisfacerea cererilor de rezolvare a problemelor cu 99,22%, deoarece cu n= 6 probabilitate de refuz de serviciu ( R deschis) este 0,0078.
| Caracteristici de clasificare | Tipuri de sisteme de așteptare | |||||||||||
| Fluxul de cerințe de intrare | Cerințe limitate | Închis | Deschis | |||||||||
| Legea distribuției | Sisteme cu o lege specifică de distribuție a fluxului de intrare: exponențial, Erlang k-comanda, Palma, normal etc. | |||||||||||
| Coadă | Disciplina la coada | Cu o coadă ordonată | Cu o coadă neordonată | Cu prioritate de serviciu | ||||||||
| În așteptarea limitelor de service | Cu refuzuri | Cu anticipare nelimitată | Cu restricții (mixte) | |||||||||
| După lungimea cozii | Prin timp de așteptare la coadă | După perioada de ședere în SMO | Combinate | |||||||||
| Disciplina de serviciu | Etape de întreținere | Fază singulară | Polifazic | |||||||||
| Numărul de canale de servicii | Un singur canal | Multicanal | ||||||||||
| Cu canale egale | Cu canale inegale | |||||||||||
| Fiabilitatea canalelor de servicii | Cu canale absolut de încredere | Cu canale nesigure | ||||||||||
| Fără recuperare | Cu restaurare | |||||||||||
| Asistență reciprocă a canalelor | Fără ajutor reciproc | Cu ajutor reciproc | ||||||||||
| Fiabilitatea serviciului | Cu greșeli | Fără greșeală | ||||||||||
| Distribuția timpului de serviciu | Sisteme cu o lege specifică de distribuție a timpului de serviciu: deterministă, exponențială, normală etc. | |||||||||||
Dacă întreținerea se efectuează pas cu pas printr-o anumită secvență de canale, atunci se apelează un astfel de QS multifazic.
ÎN OCM cu „ajutor reciproc”între canale, aceeași cerere poate fi deservită simultan de două sau mai multe canale. De exemplu, aceeași mașină spartă poate fi întreținută de doi muncitori simultan. O astfel de „asistență reciprocă” între canale poate avea loc atât în QS-uri deschise, cât și închise.
ÎN QS cu erori o aplicație acceptată pentru service în sistem nu este deservită cu probabilitate totală, ci cu o anumită probabilitate; cu alte cuvinte, pot apărea erori în serviciu, rezultatul cărora este că unele solicitări trimise de QS și presupus „deservite” rămân de fapt neservite din cauza unui „defect” în activitatea QS.
Exemple de astfel de sisteme includ: birourile de informare, care uneori eliberează certificate și instrucțiuni incorecte; un corector care poate să rateze o eroare sau să o corecteze incorect; o centrală telefonică care conectează uneori un abonat la un număr greșit; societăți comerciale și intermediare care nu întotdeauna își îndeplinesc obligațiile în mod eficient și la timp etc.
Pentru a analiza procesul care are loc în QS, este esențial să știți principalii parametri ai sistemului: numărul de canale, intensitatea fluxului de aplicații, productivitatea fiecărui canal (numărul mediu de aplicații deservite pe unitatea de timp de către canal), condițiile de formare a cozii, intensitatea aplicațiilor care părăsesc coada sau sistem.
Atitudinea se numește factor de încărcare a sistemului. Adesea numai sisteme în care .
Timpul de serviciu într-un QS poate fi o variabilă aleatoare sau nealeatorie. În practică, acest timp este cel mai adesea presupus a fi distribuit conform legii exponențiale.
Principalele caracteristici ale QS depind relativ puțin de tipul de lege de distribuție a timpului de serviciu, dar depind în principal de valoarea medie. Prin urmare, se utilizează adesea ipoteza că timpul de serviciu este distribuit conform unei legi exponențiale.
Ipotezele despre natura Poisson a fluxului de cereri și distribuția exponențială a timpului de serviciu (pe care o vom presupune de acum înainte) sunt valoroase prin faptul că ne permit să aplicăm aparatul așa-numitelor procese aleatoare Markov în teoria cozilor de așteptare.
Eficacitatea sistemelor de servicii, în funcție de condițiile sarcinilor și obiectivelor studiului, poate fi caracterizată printr-un număr mare de indicatori cantitativi diferiți.
Cele mai frecvent utilizate sunt următoarele indicatori:
1. Probabilitatea ca canalele să fie ocupate cu service este .
Un caz special este probabilitatea ca toate canalele să fie libere.
2. Probabilitatea refuzului cererii de serviciu.
3. Numărul mediu de canale ocupate caracterizează gradul de încărcare a sistemului.
4. Numărul mediu de canale fără serviciu:
5. Coeficientul (probabilitatea) de oprire a canalului.
6. Factorul de încărcare a echipamentului (probabilitatea de ocupare a canalului)
7. Debit relativ – ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem, i.e. raportul dintre numărul mediu de cereri deservite de sistem pe unitatea de timp și numărul mediu de cereri primite în acest timp.
8. Debit absolut, de ex. numărul de aplicații (cerințe) pe care sistemul le poate deservi pe unitatea de timp:
9. Timp mediu de nefuncționare a canalului
Pentru sisteme cu anticipare sunt utilizate caracteristici suplimentare:
10. Timp mediu de așteptare pentru cererile în coadă.
11. Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în CMO.
12. Lungimea medie a cozii.
13. Numărul mediu de cereri în sectorul serviciilor (în SMO)
14. Probabilitatea ca timpul în care o aplicație rămâne în coadă să nu dureze mai mult de un anumit timp.
15. Probabilitatea ca numărul de cereri din coada de așteptare a serviciului să fie mai mare decât un anumit număr.
Pe lângă criteriile enumerate, atunci când se evaluează eficacitatea sistemelor, indicatori de cost:
– costul deservirii fiecărei cerințe din sistem;
– costul pierderilor asociate cu așteptarea pe unitatea de timp;
– costul pierderilor asociate cu plecarea daunelor din sistem;
– costul de operare a unui canal de sistem pe unitatea de timp;
– costul pe unitatea de timp de oprire a canalului.
Atunci când alegeți parametrii optimi ai sistemului pe baza indicatorilor economici, puteți utiliza următoarele funcția de cost de pierdere:
a) pentru sistemele cu așteptare nelimitată
Unde este intervalul de timp;
b) pentru sistemele cu defecțiuni;
c) pentru sisteme mixte.
Opțiunile care implică construirea (introducerea) de noi elemente de sistem (de exemplu, canalele de servicii) sunt de obicei comparate pe baza costurilor reduse.
Costurile date pentru fiecare opțiune sunt suma costurilor (costului) curente și a investițiilor de capital reduse la aceeași dimensiune în conformitate cu standardul de eficiență, de exemplu:
(costuri ajustate pe an);
(costuri ajustate pentru perioada de rambursare),
unde – costurile curente (costul) pentru fiecare opțiune, rub.;
– coeficientul standard al industriei de eficiență economică a investițiilor de capital (de obicei = 0,15 - 0,25);
– investiții de capital pentru fiecare opțiune, rub.;
– perioada standard de rambursare pentru investițiile de capital, ani.
Expresia este suma costurilor curente și de capital pentru o anumită perioadă. Ei sunt numiti, cunoscuti dat, deoarece se referă la o perioadă fixă de timp (în acest caz, perioada standard de rambursare).
Indicatori și pot fi utilizați atât sub forma sumei investițiilor de capital și a costului produselor finite, cât și sub forma investiții de capital specifice pe unitate de producție și cost unitar de producție.
Pentru a descrie un proces aleatoriu care are loc într-un sistem cu stări discrete, probabilitățile de stare sunt adesea folosite, unde este probabilitatea ca în acest moment sistemul să fie în stare.
Este evident că.
Dacă un proces care are loc într-un sistem cu stări discrete și timp continuu este Markovian, atunci pentru probabilitățile stărilor este posibil să se construiască un sistem de ecuații diferențiale liniare Kolmogorov.
Dacă există un grafic de stare marcat (Fig. 4.3) (aici, deasupra fiecărei săgeți care duce de la o stare la alta, este indicată intensitatea fluxului de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta de-a lungul acestei săgeți), atunci un sistem de ecuațiile diferențiale pentru probabilități pot fi scrise imediat folosind următorul simplu regulă.
Pe partea stângă a fiecărei ecuații există o derivată, iar în partea dreaptă sunt atât de mulți termeni câte săgeți sunt asociate direct cu o stare dată; dacă săgeata indică V
Dacă toate fluxurile de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta sunt staționare, numărul total de stări este finit și nu există stări fără ieșire, atunci regimul limitativ există și se caracterizează prin probabilități marginale .
